A Solução das Equações de Terceiro e Quarto grau


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A Solução das Equações de Terceiro e Quarto grau

Por Carl Boyer, John Wiley e Sons

Em 1545 a forma de resolução das equações cúbicas ( 3º grau) e das quádricas (4º grau) tornam-se conhecidas com a publicação de Ars Magna de Girolamo Cardano. A publicação dessa obra causou tal impacto que 1545 é frequentemente tomado como marco inicial do período moderno da matemática. Deve-se frisar que Cardano (ou Cardan) não foi o descobridor original das soluções quer das cúbicas, quer das quádricas. Ele próprio admitiu isso em seu livro. A sugestão para resolver as cúbicas, ele afirma, lhe tinham sido dadas por Niccolo Tartaglia. A solução das quádricas tinha sido descoberta de seu antigo aluno, Ludovico Ferrari. O que Cardano deixou de mencionar em Ars Magna foi o solene juramento que havia feito a Tartaglia de não revelar o seu segredo, pois este pretendia firmar sua reputação publicando a solução das cúbicas, até então desconhecida, em um tratado sobre álgebra.

Para que não se dê a Tartaglia a indevida simpatia, deve-se lembrar que ele havia publicado, em 1543, uma tradução de Arquimedes, derivada de Moerbeke, dando a impressão que a obra era sua. E em seu Quesiti e invetioni diversi ( Veneza-1546) ele deu a lei do plano inclinado, presumivelmente derivada de Jordanus Nemorarius, sem a devida atribuição. Na verdade, é provavel que Tartaglia tenha recebido uma sugestão quanto à resolução da cúbica de uma fonte mais antiga. Qualquer que seja a verdade numa controvérsia um tanto complicada e sórdida entre defensores de Cardano e Tartaglia, é claro que nenhum dos dois foi o primeiro a fazer a descoberta. O heroi no caso foi alguém cujo nome mal é lembrado hoje - Scipione del Ferro ( cerca de 1465-1526) professor de matemática em Bologna, uma das mais antigas universidades medievais e uma escola com forte tradição matemática. Como ou quando Ferro fez sua descoberta, não se sabe. Não publicou a solução, mas antes de sua morte a revelou a um estudante, Antonio Maria Fior.

Parece que a idéia da existência de solução algébrica para uma cúbica se propalou, e Tartaglia nos conta que o conhecimento da possibilidade de resolver a equação inspirou-o a dedicar-se a achar o método por si. Seja independente, seja baseado numa sugestão, Tartaglia de fato aprendeu, por volta de 1541, a resolver equações cúbicas. Quando a notícia disso se espalhou, foi organizada uma competição matemática entre Tartaglia e Fior. Cada um dos concorrentes propos trinta questões para que o outro resolve-se num intervalo de tempo fixado. Quando chegou o dia da decisão, Tartaglia havia resolvido todas as questões propostas por Fior, enquanto este, não tinha resolvido nenhuma das questões propostas pelo seu oponente. A explicação é relativamente simples. Hoje pensamos em equações cúbicas como sendo essencialmente todas de um mesmo tipo e podendo ser todas resolvidas por um mesmo método. Na época, porém, quando coeficientes negativos praticamente não eram usados, havia tantos tipos de cúbicas quantas são as possibilidades dos coeficientes positivos e negativos. Fior só sabia resolver equações do tipo x3 + px = q embora na época só fossem usados coeficientes numéricos ( positivos) específicos. Mas enquanto isso, Tartaglia havia aprendido a resolver equações do tipo em que cubos e quadrados são igualados a um número x3 + px2 = q e sabia reduzir esse caso ao de Fior.

A notícia do trunfo de Tartaglia chegou a Cardano, que logo convidou o vencedor a visitar a sua casa, insinuando que trataria de arranjar um encontro entre ele e um possível patrono. Tartaglia não tinha nenhuma fonte substancial de recursos, em parte talvez por um defeito na fala causada, na infância, por um golpe de sabre sofrido durante a conquista da cidade natalde Breccia pelos franceses em 1512. Por esse fato, recebeu o apelido de tartaglia ( gago) , nome que usou em lugar de Niccolo Fontana. Cardano , ao contrário lograra sucesso como médico. Tão grande era sua fama, que certa vez fora chamado a Escócia para diagnosticar uma doença no Arcebispo de St Andrews. De nascimento ilegítimo, e sendo astrólogo, jogador e herege, Cardano foi no entanto um respeitavel professor em Bologna e Milão, e finalmente recebeu do Papa uma pensão. Cardano persuadiu Tartaglia a contar-lhe o segredo da solução das cúbicas e fez um solene juramento de não divulga-lo, que evidentemene foi quebrado com a publicação de Ars Magna.

Sobre a regra para resolver equações quádricas, Cardano escreveu na Ars Magna que " é devida a Luigi Ferrari, que a inventou a meu pedido ".

A resolução das equações cúbicas e quádricas foi talvez a maior contribuição a álgebra desde que os babilônicos, quatro milênios antes, apreenderam a completar o quadrado para equações quadráticas. Nenhuma outra descoberta constitui um estímulo para o desenvolvimento da álgebra comparável a essas reveladas em Ars Magna. A resolução das cúbicas e quádricas não foi em nenhum sentido motivada por considerações práticas, nem tinha valor para engenheiros. Soluções aproximadas de algumas equações cúbicas ja eram conhecidas na antiguidade, e al-Kashi, um século antes de Cardano, podia resolver com qualquer grau de aproximação qualquer equação cúbica resultante de problemas práticos. A fórmula de Cardano-Tartaglia é de grande importância lógica, mas nem de longe tão útil para as aplicações, quanto métodos de aproximações sucessivas.


Esta curioso para saber como se resolve a equação de 3º grau ?
Lembre-se Tartaglia solucionara tipos especiais x3 + px + q = 0 e x3 + px2 + q = 0 e não a equação geral

ax3 + bx2 + cx + d = 0 mas se fizermos x = y + m e calculando m de modo a anular o termo de 2º grau, reduzimos a equação completa em uma do tipo y3 + py + q = 0

Seja ax3 + bx2 + cx + d = 0 e x = y + m

a (y + m) 3 + b (y + m) 2 + c (y + m) + d = 0

ay3 + y2 (b + 3 am) + y ( 3 am2 + 2bm + c) +( m3 a + bm2 + cm + d) = 0

b + 3m = 0 Þ m = - b / 3a

portanto se resolvermos a equação y3 + py + q = 0 acharemos x = y + m. A idéia aqui é supor que a solução é a soma de duas parcelas Y = A + B

Y 3 = ( A + B)3 Þ Y 3 = A3 + B3 + 3AB ( A + B) como Y = A + B temos Y 3 = A3 + B3 + 3AB Y ou

Y3 - 3AB Y- (A3+B3) = 0 mas y3 + py + q = 0 então p= -3AB e q = - (A3+B3)

assim A3B3 = - p3/27 e A3+B3 = - q

assim A3 e B3 são números dos quais conhecemos a soma e o produto e este é um problema classico de equação de 2º grau


Fonte:
A History of Mathematics - Carl Boyer - John Wiley & Sons, INC

http://sandroatini.sites.uol.com.br/cardano.htm




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