Matemática

Números Complexos

G. P. Editoriais
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Os números complexos formam um conjunto numérico, compostos por uma parte de números reais e outros imaginários. Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R).

Eles tiveram sua origem graças às contribuições do matemático Girolano Cardano (1501-1576). Entretanto, foi somente no século XVIII que esses estudos foram formalizados pelo matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Nessa época, os matemáticos de depararam com raízes quadradas de número negativos, que ficam impossibilitadas de serem expressas no conjunto de números reais.

Sendo assim, os matemáticos passaram a classificar essa raiz usando a letra “i”. A base principal foi adotar i = √-1.

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O conjunto dos números complexos é indicado por C e definido perlas seguintes operações:

  • Igualdade = (a, b) = (c, d) – a = c e b = d;
  • Adição = (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d);
  • Multiplicação = (a, b) x (c, d) = (ac – bd, ad +bc).

Forma Algébrica de Z

A forma algébrica de Z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula: Z = x + yi,
Onde:

  • X é um número real indicado por x = Re (Z), sendo chamado de parte real de z;
  • Y é um número real indicado por y = Im (Z), sendo chamado de parte imaginária de Z.

Operações com Números Complexos

Com os números complexos é possível realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja abaixo a definição e como ficam as operações:

Adição

Z1 + Z2 = (a + c, b + d).
Na forma algébrica, temos:
(a +bi) + (c+ di) = (a + c) + i(b +d).
Exemplo:
(2 + 3i) + (-4 + 5i)
(2 – 4) + (3i + 5i)
– 2 + 8i

Subtração

Z1 – Z2 = (a – c, b – d).
Na forma algébrica, temos:
(a + bi) – (c + di) = (a –c) + i( b – d)
Exemplo:
(8 – 5i) – (2 + i)
(8 – 2) +i (-5 – 1)
6 – 6i

Multiplicação

(a, b) x (c, d) = ( ac – bd, ad + bc)
Na forma algébrica, usa-se a propriedade distributiva:
(a + bi) x ( c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = – 1)
(a + bi) x (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi) x (c + di) = (ac – bd) + i(ad + bc)
Exemplo:
(4 + 3i) x (2 – 5i)
8 – 20i + 6i – 15i2
8 – 14i + 15
23 – 14i

Divisão

Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2 x Z3
Na igualdade acima, se Z3 = x + yi, temos:
Z1 = Z2 x Z3
a + bi = (c + di) x ( x+yi)
a + bi = (cx – dy) + i( cy + dx)
Pelo sistema de incógnitas X e Y, temos:
cx – dy = a
dx + cy = b
Logo,
x = ac + bd/c2 + d2
y = bc – ad/c2 + d2

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