Usamos:

Por que -> normalmente usado no início de frases interrogativas. Pode ser substituído por pelo qual, pela qual, pelos quais, pelas quais, por que (qual) motivo.

Exemplos:
Por que você não fez a lição? = (Por qual motivo você não fez a lição?)
Por que temos de economizar água? = (Por qual motivo temos de economizar água?)
Não sei por que os jogadores estão discutindo. = (Não sei por que motivo os jogadores...)
Este é o motivo por que não fui à excursão. = (Este é o motivo pelo qual não fui...)

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Por quê -> no fim de frases.

Exemplos:
Você não fez a lição. Por quê?
Estava triste sem saber por quê.
Muitos reclamaram das notas, mas não havia por quê.
Você não gosta de jiló, por quê?

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Porque -> em respostas, para explicação ou causa. Pode ser substituído por pois.

Exemplos:
Ele não fez a lição porque não a entendeu.
A aula foi cancelada porque não havia luz na escola.
Muitas plantas morrem porque não chove.
Falo muito porque gosto.

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Porquê -> Sempre que houver o artigo o antes dele. Pode ser substituído por motivo, razão.

Exemplos:
Não sei o porquê desta bagunça.
Você não me explicou o porquê da sua falta.
Ainda bem que você me explicou os porquês da sua demissão.
Aprender o uso dos porquês é muito importante.

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